文章目录
曲线积分基础知识点1 曲线积分的分类基础知识点2 第一类曲线积分的识别基础知识点3 第二类曲线积分的识别基础知识点4 第二类曲线积分的可省略写法基础知识点5 当被积函数为1时第一类曲线积分的意义核心考点1 第一类曲线积分的计算核心考点2 第二类曲线积分的计算（重点）1. 常规方法2. 格林公式
补充1. 椭圆曲线转极坐标2. 线积分与路径无关的充要条件3. 曲线积分与积分路径无关4. 题型：求解极坐标下的弧长
曲线积分
基础知识点1 曲线积分的分类
第一类曲线积分：对弧长的线积分第二类曲线积分：对坐标的线积分
基础知识点2 第一类曲线积分的识别
积分区域是一条曲线，有可能是平面曲线，也有可能是空间曲线，有可能是闭合曲线，或非闭合曲线。所以有四种:
基础知识点3 第二类曲线积分的识别
与第一类曲线积分的共同点：左侧的积分区域以及积分号，但是微元不是ds，而是dx或者dy
基础知识点4 第二类曲线积分的可省略写法
多于一项时，只需写第一个积分符号，后面的积分符号都可以不写
基础知识点5 当被积函数为1时第一类曲线积分的意义
（值）代表积分区域曲线的长度，相当于积一个密度为1的线，得到的质量数值 = 线长度 （感谢评论指正）
∫
l
1
d
s
=
L
的长度
\int_l 1 ds = L的长度
∫l1ds=L的长度
核心考点1 第一类曲线积分的计算
注意可以直接代入曲线的方程到被积函数
换被积函数
换ds
直角坐标
d
s
=
1
+
(
y
′
)
2
d
x
ds = \sqrt{1 + (y')^2}dx
ds=1+(y′)2
dx
参数方程
d
s
=
(
x
′
)
2
+
(
y
′
)
2
d
t
ds = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}dt
ds=(x′)2+(y′)2
dt
极坐标
d
s
=
r
2
+
r
′
2
d
θ
ds = \sqrt{r^2 + r'^2}dθ
ds=r2+r′2
dθ
确定积分上下限：大的上限，小的下限
计算定积分即可。
核心考点2 第二类曲线积分的计算（重点）
1. 常规方法
常规方法：同第一类的计算方法，换微元和被积函数的元
需要注意：确定积分上下限时，起点为下限，终点为上限。
本质：将第二类曲线积分转化为定积分。
2. 格林公式
重中之重
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x,y），Q（x,y）在D上具有一阶连续偏导数，则有：
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
=
∬
D
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
σ
\oint_L Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})d\sigma
∮LPdx+Qdy=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dσ 本质：将第二类曲线积分转化为二重积分。
符号：L为D取正向的边界曲线
适用范围：
平面闭合可导：若被积函数含有分数，且积分区域含有令分母为0的点，则不可导，否则可导。
方法选择：
若给出闭合，可以使用格林公式。（前提是没有奇异点。）若不闭合，先考虑是否是路径无关(见下方补充)。如果是路径无关，就可以替换L的路径。若不闭合且不是路径无关的，可以尝试补线闭合。
补充
1. 椭圆曲线转极坐标
需要注意的是，转极坐标之后，x对应的系数a也需要多乘。
2. 线积分与路径无关的充要条件
格林公式内的被积函数为0
3. 曲线积分与积分路径无关
非闭合的曲线积分，给出条件：曲线积分与积分路径无关， 则意味着 曲线的 起始点和结束点 只要相同即可。 做题时：可以令P对y的偏导 = Q对x的偏导，得到相关未知数的解。
4. 题型：求解极坐标下的弧长
题目如下： 给出极坐标下的方程（或便于化成极坐标的关系），求弧长
是第一类曲线积分，此时的
d
S
=
r
2
+
(
r
′
)
2
d
θ
dS = \sqrt{r^2+(r')^2}dθ
dS=r2+(r′)2
dθ 后续代入r及r导、上下限求解即可。（换元+点火公式 = 答案 2/3π）