我的个人博客文章链接如下：学习通信原理之——彻底理解频谱和频谱密度
前言
最近还是在复习通信原理，但是对于频谱/频谱密度/能量谱/能量谱密度/功率谱/功率谱密度还是一知半解的，所以我就去各种看资料，看视频，又去问了问老师。 所以我在这里写下自己对这两个概念的一些分析和理解，不敢说100%正确，仅供大家参考。
文章目录
前言频谱频谱的定义符号定义周期信号单边谱双边谱
例子：周期矩形波信号求其傅立叶级数的Fn画出其频谱图特点
T不变，改变τ，观察三个脉冲时间不同的矩形波信号结论
τ不变，改变T，观察四个周期不同的矩形波信号结论
频谱密度定义频谱密度函数
F
(
ω
)
F\left( \omega \right)
F(ω)公式
傅里叶正变换公式傅里叶逆变换公式总结最新的想法
频谱
频谱的定义
书上的说法是
以频率为坐标，分别以幅值、相位为纵坐标得到的图就是频谱。其中以幅值为纵坐标的图称为幅度谱，以相位为纵坐标的称为相位谱。
我感觉最通俗的解释就是信号的某种特征量随信号频率的关系，称为频谱
符号定义
接下来文中出现的符号定义
符号含义
T
T
T信号周期
Ω
\Omega
Ω频域信号两个谱线之间的间距
τ
\tau
τ时域信号宽度
周期信号
周期信号的傅立叶级数具有幅频特性和相频特性
单边谱
这里是傅立叶级数的普通形式
{
A
n
(
幅度
)
∼
ω
φ
n
(
相位
)
∼
ω
}
\begin{Bmatrix}A_{n}(幅度) \sim \omega \\ \varphi_{n}(相位) \sim \omega \end{Bmatrix}
{An(幅度)∼ωφn(相位)∼ω}
A
n
=
a
n
2
+
b
n
2
n
=
1
,
2
,
3...
A_n=\sqrt[]{a^2_n+b^2_n}~~~ n=1,2,3...
An=an2+bn2
n=1,2,3...
双边谱
这里是傅立叶级数的复数形式
{
∣
F
n
(
幅度
)
∣
∼
ω
φ
n
(
相位
)
∼
ω
}
\begin{Bmatrix} \left | F_{n}(幅度)\right | \sim \omega \\ \varphi_{n}(相位)\sim \omega \end{Bmatrix}
{∣Fn(幅度)∣∼ωφn(相位)∼ω}
∣
F
n
∣
=
A
n
2
n
=
0
,
±
1
,
±
2
,
.
.
.
\left | F_{n}\right |=\frac{A_n}{2}~~~n=0,\pm 1,\pm 2,...
∣Fn∣=2An n=0,±1,±2,...
例子：周期矩形波信号
我拿GeoGebra画了一个很粗略的表示，这个其实是周期性的，就是他其实是无限个矩形波函数，大家应该都懂我意思🤪
矩形波信号：幅度为
1
宽度为
τ
周期为
T
矩形波信号：幅度为1 宽度为\tau 周期为T
矩形波信号：幅度为1宽度为τ周期为T 我们求其频谱也就是求傅立叶级数的系数Fn
求其傅立叶级数的Fn
F
n
=
1
T
∫
−
τ
2
τ
2
f
(
t
)
e
−
j
n
Ω
t
d
t
=
1
T
∫
−
τ
2
τ
2
e
−
j
n
Ω
t
d
t
=
1
T
1
−
j
n
Ω
e
−
j
n
Ω
t
∣
−
τ
2
τ
2
=
1
T
1
−
j
n
Ω
[
e
−
j
n
Ω
τ
2
−
e
−
j
n
Ω
(
−
τ
2
)
]
=
1
T
1
−
j
n
Ω
[
−
2
j
s
i
n
(
n
Ω
τ
2
)
]
=
2
T
s
i
n
(
n
Ω
τ
2
)
n
Ω
τ
2
⋅
τ
2
=
τ
T
S
a
(
n
Ω
τ
2
)
(
n
=
0
,
±
1
,
±
2...
)
\begin{aligned} Fn&=\frac{1}{T}\int_{-\frac{\tau}{2} }^{\frac{\tau}{2} } f(t)e^{-jn\Omega t}dt \\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{\tau}{2} }^{\frac{\tau}{2} } e^{-jn\Omega t}dt \\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{-jn\Omega} e^{-jn\Omega t}|_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}} \\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{-jn\Omega} [e^{-jn\Omega \frac{\tau}{2} }-e^{-jn\Omega (-\frac{\tau}{2}) }] \\ &=\frac{1}{T}\frac{1}{-jn\Omega}[-2jsin(n\Omega\frac{\tau }{2} )] \\ &=\frac{2}{T}\frac{sin(\frac{n\Omega\tau}{2} )}{\frac{n\Omega\tau}{2}} ·\frac{\tau}{2} \\ &=\frac{\tau}{T}Sa(\frac{n\Omega\tau}{2}) (n=0,\pm 1,\pm 2...) \end{aligned}
Fn=T1∫−2τ2τf(t)e−jnΩtdt=T1∫−2τ2τe−jnΩtdt=T1−jnΩ1e−jnΩt∣−2τ2τ=T1−jnΩ1[e−jnΩ2τ−e−jnΩ(−2τ)]=T1−jnΩ1[−2jsin(nΩ2τ)]=T22nΩτsin(2nΩτ)⋅2τ=TτSa(2nΩτ)(n=0,±1,±2...)
我们已知抽样函数
S
a
(
x
)
函数
=
s
i
n
x
x
τ
是信号宽度
,
T
是信号周期
我们已知抽样函数Sa(x)函数=\frac{sinx}{x} \\\tau是信号宽度,T是信号周期
我们已知抽样函数Sa(x)函数=xsinxτ是信号宽度,T是信号周期
画出其频谱图
先画出Sa函数，注意坐标轴，我这里为了方便显示，取了几个具体的数值，实际上要根据题中的条件计算。
clear
close all
clc
% 定义时间轴t和信号x
t = -16:0.01:16;
x = (0.25)*sinc(t / pi);
% 绘制原始信号
plot(t, x, '--','LineWidth', 3);
xlabel('时间');
ylabel('幅度');
title('Sa(t)');
grid on;
hold on;
% 进行1/4倍采样
x_downsampled = downsample(x, 80);
% 计算新的时间轴
t_downsampled = t(1:80:end);
% 绘制降采样后的信号
stem(t_downsampled, x_downsampled, 'LineWidth', 3);
xlabel('w');
ylabel('Fn');
title('频谱图');
legend('频谱信号', '谱线');
grid on;
我们设
T
=
4
τ
F
n
=
1
4
S
a
(
n
Ω
τ
2
)
则零点
n
Ω
τ
2
=
π
m
⇒
n
Ω
=
2
m
π
τ
我们设T=4\tau~~ Fn=\frac{1}{4}Sa(\frac{n\Omega\tau }{2} ) \\则零点\frac{n\Omega\tau }{2}=\pi m\Rightarrow n\Omega =\frac{2m\pi}{\tau}
我们设T=4τ Fn=41Sa(2nΩτ)则零点2nΩτ=πm⇒nΩ=τ2mπ
两个零点之间有4条谱线，这些谱线的位置和数量取决于信号的采样率和矩形波函数的宽度。
两个零点之间有
4
条谱线
,
谱线间隔为
Ω
ω
Ω
=
2
π
τ
2
π
T
=
4
最高点是
0.25
两个零点之间有4条谱线,谱线间隔为\Omega \\ \frac{\omega }{\Omega}=\frac{\frac{2\pi }{\tau } }{\frac{2\pi }{T} } =4\\ 最高点是0.25
两个零点之间有4条谱线,谱线间隔为ΩΩω=T2πτ2π=4最高点是0.25
Ω
=
2
π
T
=
2
π
f
\Omega=\frac{2\pi }{T}=2\pi f
Ω=T2π=2πf 因为周期门函数在时域是周期连续的，所以他在频谱上就是非周期离散的。
对应关系
时域/频域时域/频域周期离散非周期连续
举个例子：
矩形波函数在时域是连续周期的，那么他在频谱上就是非周期离散的。门函数做傅立叶变换后就是Sa函数，如果把它在时域上周期化，那他的频谱就被离散化了，也就是变成了上图的样子，包络是一个Sa函数，但是谱线是离散的。
特点
周期信号频谱是离散谱（谐波性）。谱线所处的位置是基频Ω的整数倍。一般具有收敛性，总趋势减小。
T不变，改变τ，观察三个脉冲时间不同的矩形波信号
函数
g
τ
(
t
)
=
τ
T
S
a
(
n
π
τ
T
)
函数g_\tau (t)=\frac{\tau}{T}Sa(\frac{n\pi \tau }{T} )
函数gτ(t)=TτSa(Tnπτ)
结论
观察这些图，我们可以得到结论：
若
T
不变
τ
减小
{
1.
最大点
τ
T
↓
2.
谱线间隔不变
2.
零点向右移动，零点横坐标变大了
4.
谱线数目
T
τ
若T不变\tau 减小\left\{\begin{matrix}1.最大点\frac{\tau}{T} \downarrow \\2.谱线间隔不变 \\2.零点向右移动，零点横坐标变大了 \\4. 谱线数目\frac{T}{\tau} \end{matrix}\right.
若T不变τ减小⎩
⎨
⎧1.最大点Tτ↓2.谱线间隔不变2.零点向右移动，零点横坐标变大了4.谱线数目τT
当
τ
⟶
0
,
图像会变成一条直线，也就是我们说的冲激函数
δ
(
t
)
当\tau\longrightarrow 0,图像会变成一条直线，也就是我们说的冲激函数\delta (t)
当τ⟶0,图像会变成一条直线，也就是我们说的冲激函数δ(t)
τ不变，改变T，观察四个周期不同的矩形波信号
若
τ
不变，
T
增加
{
最大值
τ
T
↓
右图谱线间隔
Ω
=
2
π
T
↓
,
当
T
→
∞
，
Ω
→
0
零点
2
m
π
τ
,
τ
不变
,
0
点不变
谱线数
T
τ
↑
,
谱线数
→
∞
若\tau 不变，T增加\left\{\begin{matrix}最大值\frac{\tau }{T}\downarrow \\右图谱线间隔\Omega=\frac{2\pi}{T} \downarrow,当T\rightarrow \infty ，\Omega\rightarrow 0 \\零点\frac{2m\pi}{\tau },\tau 不变,0点不变 \\谱线数\frac{T}{\tau }\uparrow ,谱线数\rightarrow \infty \end{matrix}\right.
若τ不变，T增加⎩
⎨
⎧最大值Tτ↓右图谱线间隔Ω=T2π↓,当T→∞，Ω→0零点τ2mπ,τ不变,0点不变谱线数τT↑,谱线数→∞
结论
我们重点看一下最后一个图，当T趋于∞，周期信号的周期无穷大，那么他就变成了非周期信号，上图只留下了一个矩形，是能量信号，频域变成了连续函数。
可以说是由傅里叶级数，因为其周期无穷大，所以变成了傅里叶变换，信号的频谱由离散谱变成了连续谱，同时各频率分量趋于无穷小。
我们知道：
n
Ω
=
2
π
T
n
,
T
→
∞
,
n
Ω
→
0
n\Omega=\frac{2\pi}{T}n , T\rightarrow \infty ,n\Omega\rightarrow 0
nΩ=T2πn,T→∞,nΩ→0 上面的公式是什么意思呢，就是频域的离散函数变成了连续函数，因为每一个谱线的间隔的无限小。
在数学上，当
Ω
→
0
时
,
我们称其为
ω
在数学上，当\Omega\rightarrow 0时,我们称其为\omega
在数学上，当Ω→0时,我们称其为ω
其实最后一个图像我们就从傅立叶级数得到了傅立叶变换——计算非周期信号的频谱。关于其数学公式的推导，我也写了一篇博客但是因为公式实在太多，只推导了一部分，后期我会把坑填上的。
频谱密度
定义
定义：为了描述非周期信号的频谱特性，引入的概念称为频谱密度。
我们常说的密度是连续的，所以那频谱密度也是连续的，这里我给个频谱密度一个定义，是指信号单位频率下的能量。
频谱密度函数
F
(
ω
)
F\left( \omega \right)
F(ω)公式
F
(
ω
)
=
lim
T
→
∞
F
n
1
/
T
=
lim
T
→
∞
F
n
⋅
T
=
lim
w
→
0
F
n
⋅
2
π
w
F\left( \omega \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{F_n}{1/T}=\lim_{T\rightarrow \infty} F_n \cdot T= \lim_{w\rightarrow 0} \frac{F_n\cdot 2\pi}{w}
F(ω)=T→∞lim1/TFn=T→∞limFn⋅T=w→0limwFn⋅2π 在这里
F
n
F_n
Fn(指数型傅里叶级数的系数)是趋于无穷小的，
T
T
T是趋于无穷大的，所以这两者相乘是一个常数。
但是话又说回来，为什么频谱密度要叫频谱密度呢，他和普通的频谱到底有什么区别？
想象有一块石头，他的质量是m，他的体积是v，根据密度公式，我们很容易算出他的密度是多少，那假如我们取石头上非常非常小的一块（如下图所示），它的质量趋于0，它的体积也趋于0，那么怎么用物理量来表示呢，这时就要引出密度的概念了，无穷小的质量/无穷小的体积得到的常数，就是这一小块的密度了。 所以频谱密度也是一样的道理，
F
(
j
ω
)
=
lim
w
→
0
F
n
⋅
2
π
ω
F\left( j\omega \right) = \lim_{w\rightarrow 0} \frac{F_n\cdot 2\pi}{\omega}
F(jω)=limw→0ωFn⋅2π。因为各个频率分量的幅度是无穷小的，给他除一个很小的频带宽度
ω
\omega
ω就能得到一个常数。
我们在上面已经说了，连续的频谱基频Ω趋于0，对照着下面这图像 我们可以知道，连续频谱在时域上是非周期的。所以，当我们谈论谱密度时，就已经是默认这个信号在时域上是非周期的，频谱是连续的了。
这里我们需要引入能量信号，他的能量是有限的，所以他一定是一个非周期函数，所以严格地说，他不能用傅立叶级数去计算他的频谱，他只能用傅立叶变换去计算他的频谱密度。
关于周期信号的频谱密度，我参考了这一篇文章：频谱和频谱密度在概念和适用方向上有哪些区分？ - 張無忌的回答 - 知乎
周期功率信号 的功率只集中分布在基频的倍频上，因而，功率在频域是离散分布的，如果严格地套用谱密度的意义，其谱密度应该是一连串冲击函数，这类包含无穷的特殊函数对应用而言是没有意义的。有时为了与非周期信号统一表示，会将集中分布的功率近似平均到相邻倍频的区间内，形式上也就变成频谱密度，但应当了解，这是近似的，并不是周期信号原始的属性。
举个例子，在这幅图中，我们可以将集中分布的功率近似分布到相邻的倍频区间内，他也就变成连续的了。 非周期功率信号 对应的直接就是频谱密度。
还有需要了解的是，对能量信号和功率信号的分析中，虽然有时两者的分析中都称谱密度，但能量信号的谱密度是 能量的谱密度 ，而功率信号的谱密度指的是 功率的谱密度 ，二者在计算上有区别的，相差了一个时间平均，不应混淆。
傅里叶正变换公式
由上文的公式
F
(
ω
)
=
lim
T
→
∞
F
n
1
/
T
=
lim
T
→
∞
F
n
⋅
T
=
lim
w
→
0
F
n
⋅
2
π
w
F\left( \omega \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{F_n}{1/T}=\lim_{T\rightarrow \infty} F_n \cdot T= \lim_{w\rightarrow 0} \frac{F_n\cdot 2\pi}{w}
F(ω)=T→∞lim1/TFn=T→∞limFn⋅T=w→0limwFn⋅2π 以及
F
n
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
f
(
t
)
e
−
j
n
ω
t
d
t
F_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right) e^{-jn\omega t}dt}
Fn=T1∫−2T2Tf(t)e−jnωtdt 将
F
n
F_n
Fn代入
F
(
j
ω
)
=
lim
T
→
∞
F
n
⋅
T
F\left( j\omega \right) =\lim_{T\rightarrow \infty} F_n \cdot T
F(jω)=limT→∞Fn⋅T得
F
(
ω
)
=
∫
−
T
2
T
2
f
(
t
)
e
−
j
n
ω
t
d
t
F\left( \omega \right) =\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( t \right) e^{-jn\omega t}dt}
F(ω)=∫−2T2Tf(t)e−jnωtdt 因为傅里叶变换的情况是
T
T
T趋于无穷，
ω
\omega
ω趋于0，
n
ω
n\omega
nω变成连续的了，所以傅里叶正变换公式就是
F
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{\infty}{f\left( t \right) e^{-j\omega t}dt}
F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdt
傅里叶逆变换公式
先看傅里叶级数的指数形式
f
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
F
n
e
j
n
ω
t
f\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_ne^{jn\omega t}}
f(t)=n=−∞∑∞Fnejnωt 为了凑出
F
(
ω
)
F(\omega)
F(ω)，我们要这样处理
f
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
F
n
T
e
j
n
ω
t
⋅
1
T
f\left( t \right) =\sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_nTe^{jn\omega t}\cdot \frac{1}{T}}
f(t)=n=−∞∑∞FnTejnωt⋅T1 我们令
T
→
∞
T\rightarrow \infty
T→∞，则
ω
→
0
\omega \rightarrow 0
ω→0，取其为
d
ω
d\omega
dω，我们就可以将上式的
1
T
\frac{1}{T}
T1改为
2
π
T
⋅
1
2
π
\frac{2\pi}{T}\cdot \frac{1}{2\pi}
T2π⋅2π1，
ω
\omega
ω趋于0，
n
ω
n\omega
nω变成连续的了，求和符号应变为积分符号，所以
f
(
t
)
f(t)
f(t)最后为
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
F
(
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
f\left( t \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{F(\omega )}e^{j\omega t}d\omega
f(t)=2π1∫−∞∞F(ω)ejωtdω 这就是傅里叶逆变换。
总结
我们一般在分析信号的时候，要先确定其信号类型，如果是非功率非能量信号，则要用广义函数和分布对其进行分析，但是话说回来，我看了这么多还真没遇到过这样的，如果我以后遇到了再来填坑。确定其信号类型之后，我们要根据其类型再去分析：如果是能量信号，看看是周期信号还是非周期信号(通常是非周期信号)，再对其进行傅立叶变换，假如是功率信号，判断其是周期信号还是非周期信号，要注意只有周期功率信号才有频谱(因为可以做傅立叶级数)，非周期功率信号和能量信号是没有频谱的，只有频谱密度(只能做傅立叶变换)。或者说周期性的功率信号频域是离散的，其他信号频域是连续的。
最新的想法
后来我又从书上了解到，周期性的功率信号展开成傅里叶级数的系数是频谱。
非周期性的能量信号的傅里叶变化是频谱密度
频谱是离散谱，频谱密度是连续谱
频谱的单位是伏（V），频谱密度的单位是伏/赫兹（V/Hz）。
由于非周期信号，我们将其视作周期无限的信号，所以他在一点频率的幅度为0，我问老师，老师说，非周期信号的频谱密度，在某一小区间面积才能计算。